5. Killing Form

半单性判别准则

Killing Form

定义：Killing form

在 $L$ 上定义对称双线性形：

κ (x, y) = tr (ad x ad y) .

称为Killing form．

容易验证，Killing form 具有“结合性”：当里面是李括号的情况下．

性质：Killing form 的“结合性”

$κ ([x, y], z) = κ (x, [y, z])$ ．

证明．

\begin{aligned} tr (ad [x, y] ad z) & = tr ([ad x, ad y] ad z) \\ = tr (ad x [ad y, ad z]) \\ = tr (ad x ad [y, z]) \\ = κ (x, [y, z]) . \end{aligned}

这里用到了上一章给出的公式． $◻$

以下是一个很好用的引理．

引理：Killing form 变元限制在理想上等价于理想的 Killing form

$I ⊲ L$ ，设 $L$ 上 Killing form 是 $κ$ ， $I$ 作为李子代数的 Killing form 是 $κ_{I}$ ，则 $κ_{I} = κ |_{I \times I}$ ．
这里 $κ |_{I \times I}$ 指 $κ (x, y) : x \in I, y \in I$ ．

证明： 我们用到线性代数中的一个引理：

线性代数引理：打到子空间的线性同态的迹

设 $V$ 为有限维线性空间， $ϕ \in End V$ ，则 $tr ϕ = tr (ϕ |_{im ϕ})$ ．特别地，对任意 $im ϕ < U < V$ ，都有 $tr ϕ = tr (ϕ |_{U}) = tr (ϕ |_{im ϕ})$ ．

线性代数引理的证明． 取 $W := im ϕ$ 的一组基 ${w_{m}}$ ，扩展为 $V$ 的一组基 ${v_{n}}$ ，设扩充部分为 $v_{1}, \dots, v_{n - m}$ ．在基 ${v_{n}}$ 下，设 $ϕ$ 的矩阵为 $A$ ，作分块 $A = (\begin{matrix} B & C \\ D & E \end{matrix})$ ， $B \in R^{m \times m}$ ．则

(\begin{matrix} w^{'} \\ O \end{matrix}) = (\begin{matrix} B & C \\ D & E \end{matrix}) (\begin{matrix} w \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} B w + C v \\ D w + E v \end{matrix}) .

令 $(w, v)^{T}$ 取遍各个基，说明只能有 $D = E = O$ ．从而 $tr ϕ = tr A = tr B = tr (ϕ |_{im ϕ})$ ． $◻$

回到原题． 对 $x, y \in I$ ， $(ad x) (ad y)$ 是 $L$ 的一个同态，从而是线性同态；由理想的性质， $im (ad x) (ad y) \subset I$ ．由引理可得

κ (x, y) |_{I \times I} = tr (ad x ad y) = tr ((ad x ad y) |_{I}) = tr (({ad}_{I} x) ({ad}_{I} y)) = κ_{I} (x, y) .

$◻$

Killing form 的根（radical）与非退化性（nondegenration）

一般来说，对 $L$ 上对称双线性形 $β (x, y)$ ，其根为一个子空间：

rad β = {x \in L : β (x, y) = 0, \forall y \in L} .

若 $rad β = 0$ ，就称 $β$ 非退化（nondegenrate）．

然而，由于 Killing form 是结合的，其根比子空间要更好一点：

性质：Killing form 的根是理想

$rad κ ⊲ L$ ．

由此，测试 Killing form 是否非退化的一个比较好用的方法就是：

定理：Killing form 非退化当且仅当其矩阵可逆

设 $L$ 为有限维李代数，取 $L$ 的一组基 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，则 Killing form $κ$ 非退化当且仅当 $n \times n$ 矩阵

M = (κ (x_{i}, x_{j}))

的特征值不为 $0$ ．

例子：证明

{sl}_{2} (F)

（

char F \neq 2

）的 Killing form 非退化

取 ${sl}_{2} (F)$ 的标准基 $x, h, y$ ，则

ad h = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}), ad x = (\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & 1 \\ 0 \end{matrix}), ad y = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix}) .

从而

κ (x, x) \subset tr (n_{3} (F), n_{3} (F)), κ (x, x) = 0,

κ (x, h) = tr (ad x ad h) = tr (\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = tr (\begin{matrix} 0 & ? & ? \\ ? & 0 & ? \\ ? & ? & 0 \end{matrix}) = 0,

κ (x, y) = tr (ad x ad y) = tr (\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}) = tr (\begin{matrix} 2 & ? & ? \\ ? & 2 & ? \\ ? & ? & 0 \end{matrix}) = 4,

κ (h, h) = tr (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 8,

κ (h, y) = tr (ad h ad y) = tr (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix}) = tr (\begin{matrix} 0 & ? & ? \\ ? & 0 & ? \\ ? & ? & 0 \end{matrix}) = 0,

κ (y, y) \subset tr (n_{3} (F)^{T}, n_{3} (F)^{T}), κ (y, y) = 0.

再由 $κ$ 是对称双线性函数，于是 $κ$ 的矩阵

M = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 4 \end{matrix})

其特征值为 $det M = - 128$ ，故 $κ$ 非退化．

Killing form 的根与其李代数的根、Abel 理想有密切关系．

引理 1：Killing form 的根位于李代数的根中

设 $S$ 为 $κ$ 的根，则 $S \subset rad L$ ．

证明． 令 $S$ 为 $κ$ 的根，由定义知 $tr (ad x ad y) = 0$ 对一切 $x \in S, y \in L$ （特别地： $y \in [S, S]$ ）成立，由 Cartan 准则的推论知 $S$ 可解．但 $S$ 是 $L$ 的一个理想，故 $S \subset rad L$ ． $◻$

引理 2：李代数的 Abel 理想位于其 Killing form 的根中

$L$ 的每个 Abel 理想都在其 Killing form 的根 $S$ 中．

证明． 设 $I ⊲ L$ 为 Abel 理想．任取 $x \in I, y \in L$ ，则映射

ad x ad y : L \to L \to I, (ad x ad y)^{2} : L \to [I, I] = 0.

因此 $ad x ad y$ 是幂零的，从而 $0 = tr (ad x ad y) = κ (x, y)$ ．由 $x \in I$ 的任意性， $I \subset S$ ． $◻$

附注：有关引理 1 的补充说明

引理 1 中应用 Cartan 准则的推论，我们得出 Killing form 的根 $S \subset rad L$ ．然而需要指出，存在 $rad L \neq S$ 的情形：考察以 $x, y, z$ 为基的代数，其上李括号定义为

[x, y] = z, [x, z] = y, [y, z] = 0.

Killing form 意义下的理想正交补

本节非原书内容，属于补充。

对于一个理想 $I ⊲ L$ ，可以定义其关于 Killing form 的正交补：

定义：Killing form 意义下的正交补

设 $I ⊲ L$ ，定义 $$I^\bot:={x\in L:\kappa(x,y)=0,\forall y\in I}.$$
为其正交补：由于 $κ$ 是对称双线性型，左正交补就是右正交补。

例如， $κ$ 的根 $S$ 是 $L$ 的正交补。

理想的正交补是一个理想：

定理：理想的正交补是一个理想

若 $I ⊲ L$ ，则 $I^{⊥} ⊲ L$ 。

证明： 对任意 $x \in I^{⊥}, y \in L$ ，我们只需证 $[x, y] \in I^{⊥}$ 。对任意 $z \in I$ ，则

\begin{aligned} κ (z, [x, y]) & = κ ([z, x], y) \\ = κ (0, y) = 0. \end{aligned}

这里第一个等号是 Killing form 的结合性。因此 $I^{⊥} ⊲ L$ ，证毕。 $◻$

如果 $L$ 是半单的，由 Cartan 准则，我们有一个非常好的引理：

引理：半单李代数分解为理想与理想正交补的直和

设 $L$ 半单， $I ⊲ L$ ，则 $I \cap I^{⊥} = 0$ ，且 $L = I \oplus I^{⊥}$ 。此外， $I$ 的理想均为 $L$ 的理想。

证明： $I, I^{⊥}$ 为理想，故 $I \cap I^{⊥}$ 也是一个理想。对 $I \cap I^{⊥}$ 应用 Cartan 准则：

任取 $x \in [I \cap I^{⊥}, I \cap I^{⊥}]$ ， $y \in I \cap I^{⊥}$ ，则 $x \in I^{⊥}$ ， $y \in I$ ，从而 $[x, y] = 0$ 。
因此 $I \cap I^{⊥}$ 是可解理想， $I \cap I^{⊥} ⊲ rad L$ 。但 $rad L = 0$ ，故 $I \cap I^{⊥} = 0$ 。

因此， $I$ 是 $L$ 的一个非退化子空间。由于 $κ$ 是双线性型，线性代数的理论给出 $L = I \oplus I^{⊥}$ 。

最后，对任意 $I^{'} ⊲ I$ ，我们证明 $I^{'} ⊲ L$ 。而这是因为

[I^{'}, I] \subset I, [I^{'}, I^{⊥}] \subset [I, I^{⊥}] = 0.

证毕。

半单性与 Killing form

回忆：李代数半单当且仅当其无 Abel 理想（看这里的“另一个刻画”）．用 Killing form 的语言，这等价于

定理：半单性等价于 Killing form 非退化

设 $L$ 为李代数，则 $L$ 半单当且仅当其 Killing form 非退化．

定理的证明． 先设 $L$ 半单．由引理1 知 $S \subset rad L = 0$ ，从而 $κ$ 非退化．

再设 $S = 0$ ．由引理2 知 $L$ 的全体 Abel 理想 $I \subset S = 0$ ，故 $L$ 无非零 Abel 理想，从而 $L$ 半单． $◻$

附注：对于

char F = p

的情况

如果 $F$ 的特征非零，则当 Killing form 非退化时 $L$ 仍为半单的；但 $L$ 半单不再能推出其 Killing form 非退化．
一个例子是：当 $char F = 3$ 时， ${sl}_{3} (F) / Z ({sl}_{3} (F))$ 半单，但其 Killing form 退化．

半单李代数是单理想的直和

定义：李代数是理想的直和

称李代数 $L$ 是理想 $I_{1}, \dots, I_{t}$ 的直和，如果 $L = I_{1} + \dots + I_{n}$ （作为子空间直和）。

这一条件要求 $[I_{i}, I_{j}] \subset I_{i} \cap I_{j} = 0$ ，若 $i \neq j$ ——以此保证 $L$ 可以被视为由在李代数 $I_{i}$ 上通过定义直和诱导的李括号得到。我们写为

L ＝ I_{1} \oplus I_{2} \oplus \dots \oplus I_{t} = ⨁_{i = 1}^{t} I_{i} .

定理：半单李代数存在单理想直和分解

设 $L$ 半单，则存在单理想 $L_{1}, \dots, L_{t}$ 使得

L = ⨁_{i = 1}^{t} L_{i},

另一方面， $L$ 的任一单理想即为全体 $L_{i}$ 中的一个。此外， $L_{i}$ 的 Killing form $κ_{i}$ 是李代数的 Killing form $κ$ 在 $L_{i} \times L_{i}$ 上的限制映射。

证明： 我们通过对 $\dim L$ 归纳来将 $L$ 分解为单李代数的直和。

如果 $L$ 没有非零真理想，则 $L$ 单，分解已完成；否则设 $L_{1}$ 是最小的非零理想，由引理得 $L = L_{1} \oplus L_{1}^{⊥}$ ，特别地，由于 $L_{1}$ 的任一理想都是 $L$ 的理想，因此 $L_{1}$ 也是半单理想（再由最小性知为单理想），且 $L_{1}^{⊥}$ 也是半单理想。由归纳法， $L_{1}^{⊥}$ 可分解为单理想的直和，这样的理想也是 $L$ 的理想。可分解性证毕。

最后，我们说明这些单理想是 $L$ 中仅有的单理想。如果 $I$ 是 $L$ 的一个单理想，则 $[I, L] ⊲ I$ ，且由 $Z (L) = 0$ （半单李代数没有可解理想；但中心是可解理想）， $[I, L]$ 是非零的，因此必有 $[I, L] = I$ 。另一方面由

[I, L] = ⨁_{i = 1}^{t} [I, L_{t}]

可知这一列中除了其中一个 $[I, L_{i}]$ ，其余均为 $0$ 。不妨设 $[I, L_{i}] = I$ ，则 $I \subset L_{i}$ 且 $I = L_{i}$ ，由 $L_{i}$ 的单性。

最后，最后一个断言由先前的定理得到。 $◻$

推论

如果 $L$ 半单，则 $L = [L, L]$ ， $L$ 的任一理想及同态像均是半单的。此外， $L$ 的任一理想均为 $L$ 的某些特定的单理想的直和。

证明： 作直和分解 $L = ⨁_{i = 1}^{t} L_{i}$ ，则

[L, L] = [L = ⨁_{i = 1}^{t} L_{i}, L = ⨁_{i = 1}^{t} L_{i}] = ⨁_{i = 1}^{t} L_{i} = L_{i},

$L$ 的理想 $I$ 半单是因为 $rad I \subset rad L = 0$ ，同态的像半单是因为 $rad im φ \subset φ (rad L) ＝ 0$ 。

最后，由理想 $I$ 半单，其可表示为直和 $I = ⨁_{i = 1}^{s} I_{i}$ ，这里 $I_{i}$ 为单理想。因此 $I_{i}$ 也为 $L$ 的单理想，故 $I_{i} = L_{j_{i}}$ ， $\forall i \exists j_{i}$ 。 $◻$

内导子

Killing form 的非退化性有一个更深远的重要结果。在开始前，我们回忆前面说过的性质： $ad L ⊲ Der L$ （见内导子是导子空间的理想）。对于半单李代数，性质会更好：

定理：半单李代数的导子均为内导子

若 $L$ 半单，则 $ad L = Der L$ 。

证明： 由 $L$ 半单，故 $Z (L) = 0$ ，因此 $ad : L \to ad L$ 是同构。因此 $ad L$ 也是半单的，从而 $M = ad L$ 的 Killing form 是非退化的。

若 $D = Der L$ ，由 $M ⊲ D$ 知 $[D, M] \subset M$ ， $M$ 半单且 $κ_{M}$ 是 $κ_{D}$ 在 $M \times M$ 上的限制映射。

令 $I = M^{⊥}$ 是 $κ_{D}$ 下在 $D$ 中相对于 $M$ 的正交补，则 $I \cap M$ 是 $M$ 的理想。由 $M$ 半单，引理给出 $I \cap M = 0$ 且 $D = I ⊥ M$ 。此外，由于 $I, M$ 都是 $D$ 中的理想，正交补的定义给出 $[I, M] = 0$ 。

现在考虑 $D$ 中的元素 $δ$ 。如果 $δ \in I$ ，则 $ad (δ x) = [δ, ad x] \in [I, M] = 0$ ， $\forall x \in L$ 。但 $ad$ 是同构，这说明只能有 $δ (x) = 0, \forall x$ , 因此 $δ = 0$ 。故 $Der L = M = ad L$ ，证毕！

抽象 Jordan 分解

由半单李代数的导子就是内导子，我们可以对半单李代数引入所谓抽象 Jordan 分解——补齐对一般李代数没有这样的好用工具的缺憾。

回忆若 $V$ 是一个有限维 $F -$ 代数，则 $Der V$ 包含其所有半单及幂零部分；现在考察 $Der L$ ，由半单性知其就是 $ad L$ ，且 $L \to ad L$ 是双射，因此每个 $x \in L$ 都决定了唯一的一组 $s, n \in L$ 使 $ad x = ad s + ad n$ ——这是 $ad x$ 在线性李代数 $ad L$ 中一个普通的 Jordan 分解。由双射，这就说明 $x = s + n$ ， $[s, n] = 0$ 且 $s$ 是伴随表示半单的（ad-semisimple），且 $n$ 伴随表示幂零。我们记 $s = x_{s}, n = x_{n}$ ，通过滥用语言来称其为 $x$ 的半单部分及幂零部分。

定义：抽象 Jordan 分解（abstract Jordan decomposition）

称 $x = x_{s} + x_{n}$ 为 $x$ 的抽象 Jordan 分解。

在第 6 章中，我们将说明若 $L$ 是线性李代数，则抽象 Jordan 分解就是 Jordan 分解。但在此刻，我们先对 $L = sl (V)$ 来说明这一点：

例子：

sl (V)

的抽象 Jordan 分解

对 $x \in End V$ ，记其普通的 Jordan 分解为 $x = x_{s} + x_{n}$ 。因为 $x_{n}$ 是幂零同态，其迹为 $0$ ，故 $x_{n} \in L$ 。这导致 $x_{s}$ 也是迹零的，所以 $x_{s} \in L$ 。
此外，由于 ${ad}_{gl (V)} x_{s}$ 是半单的，因此 ${ad}_{L} x_{s}$ 更加是半单的；同样 ${ad}_{L} x_{n}$ 是幂零的，且 $[{ad}_{L} x_{s}, {ad}_{L} x_{n}] = {ad}_{L} [x_{s}, x_{n}] = 0$ ，由抽象 Jordan 分解的唯一性知如上分解即为 $x$ 的抽象 Jordan 分解。